自动驾驶：LQR、ILQR和DDP原理、公式推导以及代码演示（六、ILQR正则化和Line Search）

在自动驾驶的研究领域中，优化控制策略是实现高效和安全自动驾驶的关键。本文将详细探讨增量线性二次调节器（iLQR）的正则化和线搜索（Line Search）方法，并通过案例和代码演示来说明这些技术在实际应用中的重要性。

引言

增量线性二次调节器（iLQR）是一种用于求解非线性控制问题的优化算法。它通过迭代优化来寻找系统的最优控制输入。iLQR的核心在于通过线性化系统动态和二次化成本函数，简化优化问题。正则化和线搜索是iLQR算法中的关键步骤，能够有效提高算法的稳定性和收敛速度。

ILQR概述

LQR和iLQR简介

线性二次调节器（LQR）是一种经典的最优控制方法，它假设系统是线性的，且成本函数是二次型的。LQR的目标是找到一个控制策略，使得系统的状态和控制输入的加权平方和最小化。

增量线性二次调节器（iLQR）是LQR的非线性扩展。iLQR的主要步骤包括：

线性化系统动态方程和成本函数。
应用LQR求解线性化后的问题。
更新控制策略并重复以上步骤，直到收敛。

iLQR算法步骤

初始化：选择一个初始控制策略。
线性化：对系统动态方程和成本函数进行线性化。
求解LQR问题：得到增量控制策略。
更新策略：将增量应用到当前策略上。
检查收敛性：如果满足收敛条件，则停止；否则，返回第2步。

ILQR正则化

在实际应用中，iLQR算法可能会遇到数值不稳定的问题，特别是在系统动态方程和成本函数的线性化近似不准确时。为了解决这些问题，通常需要引入正则化技术。

正则化的概念

正则化是对优化问题引入额外的约束或惩罚项，以避免过拟合或提高数值稳定性。在iLQR中，正则化主要用于改善线性化模型的稳定性。

ILQR中的正则化方法

增量正则化：在计算控制增量时加入正则化项。常见的方法包括对控制增量引入L2范数惩罚。
模型正则化：对线性化模型引入正则化，防止模型在某些状态下变得不稳定。

增量正则化公式

假设我们要优化的控制增量为 $\delta u$ ，则正则化后的优化问题可以表示为：

\min_{\delta u} \sum_{t} \left[ (x_{t+1} - f(x_t, u_t))^\top Q (x_{t+1} - f(x_t, u_t)) + (u_t + \delta u_t)^\top R (u_t + \delta u_t) \right]

其中， $Q$ 和 $R$ 是权重矩阵，用于调节状态误差和控制输入的惩罚程度。正则化项通常在优化过程中作为附加项进行加权。

ILQR的线搜索方法

线搜索是一种用于确定最优步长的技术。在线搜索过程中，算法尝试不同的步长，以找到使得目标函数最小化的最佳步长。

线搜索的原理

线搜索的基本原理是通过逐步调整步长，找到使得目标函数值下降最多的步长。在iLQR中，线搜索用于确定增量控制策略的步长。

常用的线搜索算法

固定步长线搜索：选择一个固定的步长进行搜索。
黄金分割法：通过缩小搜索范围找到最优步长。
Armijo条件：基于目标函数的下降速度调整步长。

Armijo条件

Armijo条件是一种常用的线搜索准则，用于确定步长是否足够好。具体条件如下：

J(x_{t+1}, u_t + \alpha \delta u_t) \leq J(x_t, u_t) + \rho \alpha \nabla J^\top \delta u

其中， $J$ 是目标函数， $\alpha$ 是步长， $\rho$ 是步长调整因子， $\nabla J$ 是目标函数的梯度。

案例研究与场景

案例：自动驾驶车辆路径优化

在自动驾驶中，路径优化是一个关键问题。假设我们有一个自动驾驶车辆，其路径优化问题可以建模为一个非线性最优控制问题。使用iLQR算法可以有效地解决这个问题。

问题描述

考虑一辆自动驾驶车辆在二维平面上行驶，我们希望优化其路径，使得车辆能够从起点A到达终点B，同时最小化总行驶时间和能耗。

系统模型

车辆的动态方程可以表示为：

\begin{bmatrix} x_{t+1} \\ y_{t+1} \\ \theta_{t+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_t + v_t \cos(\theta_t) \\ y_t + v_t \sin(\theta_t) \\ \theta_t + \omega_t \end{bmatrix}

其中， $x_t$ 和 $y_t$ 是车辆的位置信息， $\theta_t$ 是车辆的朝向， $v_t$ 是前进速度， $\omega_t$ 是转向角速度。

优化目标

优化目标是最小化总行驶时间和能耗。成本函数可以表示为：

J = \sum_{t} \left[ \alpha (x_t - x^*)^2 + \beta (y_t - y^*)^2 + \gamma v_t^2 + \delta \omega_t^2 \right]

其中， $x^*$ 和 $y^*$ 是目标位置， $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ 、 $\delta$ 是权重系数。

ILQR算法应用

使用iLQR算法对上述问题进行求解时，需要进行以下步骤：

初始化：选择一个初始控制策略。
线性化：对车辆动态方程和成本函数进行线性化。
正则化：加入正则化项，提高算法稳定性。
线搜索：确定最优步长。
更新策略：根据优化结果更新控制策略。
检查收敛性：重复上述步骤，直到收敛。

代码演示

以下是使用Python实现iLQR算法的代码示例，包括正则化和线搜索的步骤。

pythonCopy Code
import numpy as np

# 定义系统参数
dt = 0.1
N = 100  # 计划步数
n = 3  # 状态维度
m = 2  # 控制维度

# 初始状态
x0 = np.array([0, 0, 0])

# 目标状态
x_goal = np.array([10, 10, 0])

# 权重矩阵
Q = np.diag([1, 1, 0.1])
R = np.diag([0.1, 0.1])

# 定义动态方程
def dynamics(x, u):
    x_new = np.zeros(n)
    x_new[0] = x[0] + u[0] * np.cos(x[2]) * dt
    x_new[1] = x[1] + u[0] * np.sin(x[2]) * dt
    x_new[2] = x[2] + u[1] * dt
    return x_new

# 定义成本函数
def cost(x, u):
    return np.dot(x - x_goal, np.dot(Q, x - x_goal)) + np.dot(u, np.dot(R, u))

# iLQR算法
def ilqr(x0, u0, N, Q, R