信号与噪声分析——第二节：随机变量的统计特征

在信号与噪声分析的过程中，我们经常遇到“随机变量”这一概念。随机变量是用于描述具有不确定性的量的工具。它为我们提供了在观察信号时如何理解、描述和处理噪声的框架。本节内容将从统计学的角度分析随机变量的基本特征，重点讨论常见的随机变量类型及其分布、期望、方差等统计特征，同时通过实际案例展示如何应用这些统计特征进行信号与噪声分析。

1. 随机变量及其类型

1.1 随机变量的定义

随机变量是对一个随机现象的数学描述，通常用于表示事件的结果。随机变量可以是离散的或连续的，取决于其取值的范围。

• 离散随机变量：取值为有限或可数无限个的变量。例如，掷骰子的结果可以表示为一个离散随机变量，其可能取值为 1、2、3、4、5 或 6。
• 连续随机变量：可以取任意实数值的变量，通常用于描述测量或连续时间变化。例如，温度、时间或信号幅度等都可以用连续随机变量来描述。

在实际应用中，我们常常关注连续随机变量的统计特征，尤其是在信号与噪声的分析中，连续随机变量的模型能够帮助我们理解信号的变化和噪声的分布。

1.2 随机变量的概率分布

概率分布是描述随机变量的取值及其概率的函数。根据随机变量的类型，常见的概率分布有以下几种：

• 离散分布：如伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
• 连续分布：如正态分布、指数分布、均匀分布、伽马分布等。

在信号与噪声的分析中，正态分布是一种极为重要的分布，因为许多物理和工程系统中的噪声通常可以近似为正态分布。

1.3 随机变量的独立性与相关性

在分析信号与噪声时，随机变量的独立性或相关性对整个系统的特性至关重要。

• 独立性：两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 如果满足 $P(X \cap Y) = P(X) \cdot P(Y)$，则称 $X$ 和 $Y$ 是独立的。即一个变量的取值不会影响另一个变量的取值。
• 相关性：两个随机变量之间的相关性衡量了它们的线性依赖关系，常用的度量是 协方差 和 相关系数。

在信号处理的过程中，噪声通常不是独立的，因此需要对噪声的相关性进行建模。

2. 随机变量的统计特征

随机变量的统计特征包括期望、方差、标准差、偏度、峰度等，这些特征能够帮助我们量化和描述信号的性质。

2.1 期望

期望（也称为数学期望或均值）是随机变量取值的加权平均值。它反映了随机变量的“中心位置”。对于离散随机变量 $X$，其期望定义为：

$$E[X] = \sum_{i} x_i P(X = x_i)$$

对于连续随机变量 $X$，期望定义为：

$$E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f_X(x) dx$$

其中 $f_X(x)$ 是随机变量 $X$ 的概率密度函数。

期望在信号处理中有着广泛的应用，尤其是在噪声的建模中。例如，假设某个系统中的信号在受到噪声的影响后，信号与噪声的合成信号 $Y = X + N$，其中 $X$ 是信号，$N$ 是噪声。如果噪声的期望为零，即 $E[N] = 0$，则信号 $X$ 的期望等于合成信号 $Y$ 的期望。

期望的实际应用

假设我们正在分析一个通讯系统，系统的信号强度 $X$ 在没有噪声干扰的情况下是一个固定值。然而，由于环境噪声的存在，接收到的信号 $Y$ 会受到随机噪声的影响。假设噪声 $N$ 是零均值高斯噪声，即 $E[N] = 0$，这时接收到的信号的期望值就是原信号的期望值：

$$E[Y] = E[X + N] = E[X] + E[N] = E[X]$$

因此，通过测量接收信号的期望，我们可以推测信号的平均强度，从而对系统的性能进行评估。

2.2 方差与标准差

方差是随机变量与其期望之间差异的度量，它反映了随机变量取值的分散程度。方差的计算公式为：

$$Var(X) = E[(X - E[X])^2]$$

标准差是方差的平方根，常用于表示随机变量的波动性。标准差的公式为：

$$\sigma_X = \sqrt{Var(X)}$$

在信号处理中，方差和标准差常用于描述噪声的幅度。如果噪声的方差较大，意味着噪声在信号中引起的波动较大，信号质量较差。

方差的实际应用

例如，在一个雷达系统中，接收到的回波信号可以被建模为信号加上噪声。噪声的方差决定了回波信号的准确性。假设噪声 $N$ 是一个高斯分布的随机变量，具有零均值和已知方差。如果我们知道噪声的方差，我们可以通过信号的测量精度来评估回波信号的质量。

2.3 偏度与峰度

偏度和峰度是描述随机变量分布形态的统计特征。

• 偏度（Skewness）衡量了随机变量分布的偏斜程度。如果偏度为零，说明分布是对称的。如果偏度大于零，说明分布向右偏斜；如果偏度小于零，说明分布向左偏斜。

• 峰度（Kurtosis）衡量了分布尾部的厚度。正态分布的峰度为 3。大于 3 表示分布的尾部较重，小于 3 表示分布的尾部较轻。

在信号处理中，偏度和峰度常常用于描述信号和噪声的分布特性。特别是在非高斯噪声的情况下，这些指标有助于识别和分析噪声源。

偏度和峰度的实际应用

例如，在图像处理系统中，图像信号可能受到不同类型的噪声污染。常见的噪声类型包括高斯噪声、脉冲噪声等。通过分析图像噪声的偏度和峰度，我们可以判断噪声的类型，并选择合适的去噪算法。例如，如果噪声的偏度较大且峰度较高，可能是由于脉冲噪声的影响，此时使用中值滤波可能比高斯滤波更有效。

3. 案例分析

3.1 雷达信号处理中的随机变量分析

在雷达信号处理中，接收到的信号通常会受到各种噪声的影响。假设一个雷达系统通过无线电波探测目标，回波信号可以表示为：

$$Y(t) = X(t) + N(t)$$

其中 $X(t)$ 是目标信号，$N(t)$ 是噪声。假设噪声 $N(t)$ 是一个零均值、高斯分布的随机变量，具有已知的方差 $Var(N(t)) = \sigma^2$。

通过分析信号和噪声的统计特征，我们可以评估雷达系统的性能。例如，通过计算接收信号的信噪比（SNR），我们可以判断雷达系统的检测能力。信噪比的定义为：

$$SNR = \frac{Var(X)}{Var(N)}$$

在噪声方差已知的情况下，若信噪比较高，说明信号强度相对于噪声较强，雷达系统的检测精度较高。

3.2 通信系统中的噪声建模

在通信系统中，信号通常会