统计机器学习——线性回归与分类

1. 引言

统计机器学习是数据科学中一门重要的学科，它结合了统计学和机器学习的思想，用来从数据中提取知识和信息。它广泛应用于预测、分析和模式识别等领域。线性回归和分类是统计机器学习中的两大基础方法，它们在许多实际应用场景中扮演着重要的角色。本篇文章将系统地介绍线性回归和分类的基本概念、模型建立、方法推导以及应用实例。

1.1 线性回归

线性回归是最基本的回归方法之一，它通过寻找自变量（输入特征）与因变量（输出）之间的线性关系来进行预测。它的目标是通过最小化误差来找到最佳的线性模型，从而对未知数据进行预测。

1.2 分类问题

分类问题属于监督学习的一种，旨在将输入的样本分类到不同的类别中。分类模型通过学习已标记数据的类别信息，从而实现对新样本的预测。常见的分类模型包括逻辑回归、支持向量机（SVM）、决策树、K最近邻（KNN）等。

2. 线性回归

2.1 线性回归模型的基本假设

线性回归模型假设输出变量 $y$ 与输入变量 $x$ 之间存在线性关系。这个关系可以表示为：

$$y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \cdots + \beta_p x_p + \epsilon$$

其中，$\beta_0, \beta_1, \dots, \beta_p$ 是模型的参数，$x_1, x_2, \dots, x_p$ 是输入特征，$\epsilon$ 是误差项，假设其服从正态分布，且具有零均值和常方差。

2.2 最小二乘法

线性回归的主要任务是通过找到最佳的参数 $\beta_0, \beta_1, \dots, \beta_p$，使得模型的预测值与真实值之间的误差最小。最常用的优化方法是最小二乘法（OLS，Ordinary Least Squares）。

最小二乘法的目标是最小化以下目标函数：

$$J(\beta_0, \beta_1, \dots, \beta_p) = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2$$

其中，$y_i$ 是第 $i$ 个样本的真实标签，$\hat{y}_i$ 是模型预测值，$n$ 是样本数。

2.3 线性回归的评估指标

为了评估线性回归模型的预测效果，我们通常使用以下几个评估指标：

• 均方误差（MSE，Mean Squared Error）：衡量预测值与真实值之间差异的平方和的平均值。
• 决定系数（$R^2$）：表示模型对数据变异的解释能力，$R^2$ 的值在 0 到 1 之间，越接近 1 表示模型的拟合程度越好。

2.4 线性回归的假设检验

在回归分析中，我们还需要检验模型参数的显著性。常用的假设检验方法有：

• t检验：用来检验回归系数是否显著不为零。
• F检验：用来检验模型是否整体显著。

2.5 线性回归的应用案例

假设我们有一组房地产数据，包含了房屋的面积、卧室数量、位置等特征，并且每个房屋都有一个销售价格。我们可以通过线性回归来建立一个预测模型，预测给定房屋的销售价格。

案例1：房价预测

假设我们有以下数据集：

在这个案例中，目标是通过面积、卧室数量和位置评分预测房屋的销售价格。使用线性回归模型，可以构建如下方程：

$$y = \beta_0 + \beta_1 \cdot \text{面积} + \beta_2 \cdot \text{卧室数量} + \beta_3 \cdot \text{位置评分}$$

通过训练模型，我们可以得到回归系数，从而进行价格预测。

2.6 线性回归的局限性

尽管线性回归是一种非常有效且简单的回归方法，但它也有一些局限性：

• 线性假设：线性回归要求因变量与自变量之间存在线性关系，这在实际问题中并不总是成立。
• 多重共线性：当输入特征之间存在高度相关性时，可能会导致回归模型的不稳定性。
• 异常值敏感性：线性回归对异常值非常敏感，异常值可能会对模型的拟合产生较大影响。

3. 分类模型

3.1 分类问题的定义

在分类问题中，目标是根据一组特征将数据点划分到不同的类别中。分类算法根据训练数据中的标签信息（类别）进行学习，并且根据学习到的规律对新样本进行分类。

分类任务可以是二分类或多分类问题。二分类问题中只有两种类别（例如，垃圾邮件与非垃圾邮件），而多分类问题中有多个类别（例如，不同种类的水果）。

3.2 逻辑回归

逻辑回归是一种广泛应用于二分类问题的分类方法。尽管名字中包含“回归”，但它是一种分类算法。逻辑回归模型的输出是一个概率值，表示样本属于某一类别的概率。

逻辑回归模型的假设形式为：

$$p(y=1|x) = \frac{1}{1 + e^{-(\beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \cdots + \beta_p x_p)}}$$

其中，$p(y=1|x)$ 表示样本属于类别 1 的概率，$\beta_0, \beta_1, \dots, \beta_p$ 是模型的参数，$x_1, x_2, \dots, x_p$ 是输入特征。

3.3 逻辑回归的训练与评估

与线性回归类似，逻辑回归的训练目标是找到最优的模型参数。为了使得模型的预测最为准确，我们通常使用最大似然估计（MLE）来估计模型参数。

模型训练的目标是最大化似然函数：

$$L(\beta) = \prod_{i=1}^n p(y_i|x_i; \beta)$$

通过对数似然函数进行最大化，我们可以获得最优的参数。

3.4 逻辑回归的评估指标

逻辑回归模型的评估指标包括：

• 准确率：预测正确的样本数占总样本数的比例。
• 精确率与召回率：精确率表示正类样本中被正确预测为正类的比例，召回率表示所有正类样本中被正确预测为正类的比例。
• F1-score：精确率和召回率的调和平均值，用于衡量模型在精确率和召回率之间的综合表现。

3.5 逻辑回归的应用案例

假设我们要建立一个电子邮件垃圾分类模型。训练数据包括电子邮件的特征，如邮件长度、是否包含特定关键词（如“免费”）等，标签为邮件是否为垃圾邮件。

案例2：垃圾邮件分类

我们收集了一些电子邮件数据，特征包括：

使用逻辑回归模型，我们可以预测给定的新邮件是否为垃圾邮件。模型的输出是一个概率值，如果概率大于 0.5，则分类为垃圾邮件。

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