NumPy 线性代数学习笔记

1. 矩阵基础

1.1 创建矩阵

在 NumPy 中，可以使用 numpy.array 方法创建一个矩阵。例如，要创建一个 2x3 的矩阵，可以执行以下代码：

pythonCopy Code
import numpy as np

a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print(a)

输出如下：

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[[1 2 3]
 [4 5 6]]

1.2 取矩阵的行列

要取矩阵的某一行或某一列，可以使用 : 符号进行切片操作。例如，要取矩阵 a 的第 2 行和第 3 列，可以执行以下代码：

pythonCopy Code
row = a[1, :]  # 取第 2 行
col = a[:, 2]  # 取第 3 列
print(row)
print(col)

输出如下：

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[4 5 6]
[3 6]

2. 矩阵运算

2.1 矩阵加法

两个矩阵相加，要求这两个矩阵的维度相同。例如，要计算矩阵 a 和矩阵 b 的和，可以执行以下代码：

pythonCopy Code
a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
b = np.array([[7, 8, 9], [10, 11, 12]])
c = a + b
print(c)

输出如下：

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[[ 8 10 12]
 [14 16 18]]

2.2 矩阵乘法

两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。例如，要计算矩阵 a 和矩阵 b 的积，可以执行以下代码：

pythonCopy Code
a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
b = np.array([[5, 6], [7, 8]])
c = np.dot(a, b)
print(c)

输出如下：

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[[19 22]
 [43 50]]

3. 矩阵分解

3.1 SVD 分解

SVD（奇异值分解）是一种常用的矩阵分解方法。在 NumPy 中，可以使用 numpy.linalg.svd 方法进行 SVD 分解。例如，要对矩阵 a 进行 SVD 分解，可以执行以下代码：

pythonCopy Code
a = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
u, s, vt = np.linalg.svd(a)
print(u)
print(s)
print(vt)

输出如下：

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[[-0.2298477  -0.88346102 -0.40824829]
 [-0.52474482 -0.24078249  0.81649658]
 [-0.81964194  0.40189604 -0.40824829]]
[9.52551809 0.51430058]
[[-0.61962948 -0.78489445]
 [-0.78489445  0.61962948]]

3.2 QR 分解

QR 分解是一种将矩阵分解为正交矩阵和上三角矩阵的方法。在 NumPy 中，可以使用 numpy.linalg.qr 方法进行 QR 分解。例如，要对矩阵 a 进行 QR 分解，可以执行以下代码：

pythonCopy Code
a = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
q, r = np.linalg.qr(a)
print(q)
print(r)

输出如下：

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[[-0.16903085  0.89708523 -0.40824829]
 [-0.50709255  0.27602622  0.81649658]
 [-0.84515425 -0.34503278 -0.40824829]]
[[-5.91607978 -7.43735744]
 [ 0.         -0.82807867]]